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对数

2011-09-30 09:30:54| 分类：数学|物理 | 标签： |举报 |字号大中小订阅

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底数是10时，写作“lg”，不必写底数；

底数是e时，写作“ln”，不必写底数。

对数

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各种底数的对数: 红色函数底数是e, 绿色函数底数是10，而紫色函数底数是1.7。在数轴上每个刻度是一个单位。所有底数的对数函数都通过点（1,0），因为任何数的0次幂都是1，而底数β的函数通过点（β, 1），因为任何数的1次幂都是自身1。曲线接近y轴但永不触及它，因为x=0的奇异性。

在数学中，数?x（对于底数?β）的对数是β^y?的指数?y，使得?x=β^y。底数?β?的值一定不能是1或0(在扩展到复数的复对数情况下不能是1的方根)，典型的是e、?10或2。数x(对于底数β)的对数通常写为

$y=\log_\beta x\!$ 。

当x和β进一步限制为正实数的时候，对数是1个唯一的实数。例如，因为

$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$ ，

我们可以得出

$4=\log_381\!$ ，

用日常语言说，对81以3为基的对数是4。

对数函数

函数log_αx依赖于α和x二者，但是术语对数函数在标准用法中用来称呼形如log_αx的函数，在其中底数α是固定的而只有一个参数x。所以对每个基 $\alpha=|R|\ne0,1$ 的值（不得是负数、0或1）只有唯一的对数函数。从这个角度看，底数α的对数函数是指数函数y = α^x的反函数。词语“对数”经常用来称呼对数函数自身和这个函数的1个特定值。

对数函数图像和指数函数图像关于直线y=x对称，互为逆函数。

对数函数的性质有：

都过(1,0)点；
定义域为|R|≠0，值域为R；
α>1，在(0,+∞)上是增函数；1>α>0时，在(0,+∞)上是减函数。

常用公式

和差

$\begin{align} \log_\alpha\ M\!N&=\log_\alpha\ \beta^m\!\beta^n\\ &=\log_\alpha\ \beta^{m+n}\\ &=(m+n)\log_\alpha\!\beta\\ &=m\log_\alpha\!\beta+n\log_\alpha\!\beta\\ &=\log_\alpha\ \beta^m+\log_\alpha\ \beta^n\\ &=\log_\alpha\!M+\log_\alpha\!N\\ \log_\alpha\!\frac{M}{N}&=\log_\alpha\!M+\log_\alpha\!\frac{1}{N}\\ &=\log_\alpha\!M-\log_\alpha\!N \end{align}$

基变换

$\log_\alpha\!x=\frac{\log_\beta\!x}{\log_\beta\!\alpha}$

指系

$\begin{align} \log_{\alpha^n}\ {x^m}&=\frac{\ln\ x^m}{\ln\ \alpha^n}\\ &=\frac{m\ln\!x}{n\ln\!\alpha}\\ &=\frac{m}{n}\log_\alpha\!x \end{align}$

还原

$\begin{align} \alpha^{\log_\alpha\!x}&=x\\ &=\log_\alpha\!\alpha^x \end{align}$

互换

$M^{\log_\alpha\!N}=N^{\log_\alpha\!M}$

倒数

$\log_\phi\!\theta=\frac{\ln\!\theta}{\ln\!\phi}=\dfrac{1}{\dfrac{\ln\!\phi}{\ln\!\theta}}=\frac{1}{\log_\theta\!\phi}$

链式

$\begin{align} \log_\beta\!\alpha\log_\gamma\!\beta&=\frac{\ln\!\alpha}{\ln\!\beta}\ \frac{\ln\!\beta}{\ln\!\gamma}\\ &=\frac{\ln\!\alpha}{\ln\!\gamma}\\ &=\log_\gamma\!\alpha \end{align}$

有理和无理指数

如果n是有理数，βⁿ表示等于β的n个因子的乘积:

$\underbrace{\beta\times\beta\times\cdots\times\beta}_n$ 。

但是，如果β是不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数n（参见幂）。类似的，对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数β，有一个对数函数和一个指数函数，它们互为反函数。

对数可以简化乘法运算为加法，除法为减法，幂运算为乘法，根运算为除法。所以，在发明电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

底数

最常用做底数的是e $\approx2.71828182845904523536\ldots$ 、10和2。当写出不带底数的“log”的时候，意图要从上下文中确定:

自然对数{Natural log): $\log_e x,\,\ln x$ ,有时写为 ${\rm{le}}x\!$ );在微积分、数论中。
常用对数(Common log, lc)[10进制对数(Decimal log, ld)、科学对数(Scientific log, ls)]: $\log_{10}x\!$ 或简写(极易产生歧义)为 $\log x\!$ ,有时写为 $\lg x,{\rm{lc}}x,\,{\rm{ld}}x,\,{\rm{ls}}x$ ;在工程中和在使用对数表简化计算的时候。
二进制对数(Binary \log): $\log_2x\!$ ;有时写为lbx;在信息论和音程中。
不确定对数在底数无关紧要的时候，比如计算复杂性理论用大O符号描述算法的渐进行为的时候。

为了避免混淆，在可能有歧义的时候最好指定底数。

底数变换

尽管有很多有用的恒等式，对计算器最重要的是找到不是建造于计算器内的底数(通常是log_e和log₁₀)的其他底数的对数。要使用其他底数β找到底数α的对数:

$\log_\alpha x=\frac{\log_\beta x}{\log_\beta\alpha}$ 。

此外，这个结果蕴涵了所有对数函数（任意底数）都是相互类似的。所以用计算器计算对1344217728底数2的对数:

$\log_2134217728=\frac{\ln134217728}{\ln2}=\frac{27\ln2}{\ln2}=27$ 。

对数的用途

对数对解幂是未知的方程是有用的。它们有简单的导数，所以它们经常用在解积分中。对数是三个相关的函数中的一个。在等式bⁿ = x中，b可以从x的n次方根，n从x　的b底数的对数，x从b的n次的幂来确定。参见对数恒等式得到掌控对数函数的一些规则。

简便计算

对数把注意力从平常的数转移到了幂。只要使用相同的底数，就会使特定运算更容易:

数的运算	幂的运算	对数恒等式
$\,xy$	$\,m+n$	$\,\log_{\theta}xy=\log_{\theta}x+\log_{\theta}y$
$\frac{x}{y}$	$\,m-n$	$\log_{\theta}\frac{x}{y}=\log_{\theta}x-\log_{\theta}y$
$\,x^y$	$\,mn$	$\,\log_{\theta}x^y=y\log_{\theta}x$
$\sqrt[y]{x}$	$\frac{m}{n}$	$\log_{\theta}\sqrt[y]{x}=\frac{\log_{\theta}x}{y}$

这些关系使在两个数上的这种运算更快，在乘法计算器出现之前正确的使用对数是基本技能。

群论

从纯数学的观点来看，恒等式

$\log_\alpha\Mu\Nu=\log_\alpha\Mu+\log_\alpha\Nu\!$ ，

在两种意义上是基本的。首先，其他3个算术性质可以从它得出。进一步的，它表达了在正实数的乘法群和所有实数的加法群之间的同构。

对数函数是从正实数的乘法群到实数的加法群的唯一连续同构。

复对数

复对数计算公式

${}_{{\color{blue}{\rm{Log}}_{c+d{\rm{i}}} (a+b{\rm{i}}) =\frac{\ln\left(a^2+b^2)\cdot\ln(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{a}{b}+2k\pi\right) \left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right) +\left[2\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)\ln\left(c^2+d^2\right)-2\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]{\rm{i}}}{\ln^2\left(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)^2}}}$ ，

${}_{{\color{red}\ (a+b{\rm{i}})^{\left(c+d{\rm{i}}\right)}=e^{\frac{c}{2}\ln\left(a^2+b^2\right)-\left(d+2n\pi\right)\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)}\left\{\cos \left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right] +{\rm{i}}\sin\left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]\right\}}}$

$\begin{cases} \arctan0={\pi}, & \mbox{for }a 0\!\, \\ \end{cases}$

$\mathbb{Z}=\{k,n\}$

微积分

自然对数函数的导数是

$\frac{\rm{d}} {{\rm{d}}x} \ln x = \frac{1}{x}$ 。

通过应用换底规则，其他底数的导数是

$\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \log_b x = \frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \frac {\ln x}{\ln b} = \frac{1}{x \ln b} = \frac{\log_b e}{x}$ 。

自然对数 $\ln x\,$ 的不定积分是

$\int \ln x \,{\rm{d}}x = x \ln x - x + C,$

而其他底数对数的不定积分是

$\int \log_b x \,{\rm{d}}x = x \log_b x - \frac{x}{\ln b} + C = x \log_b \frac{x}{e} + C$ 。

计算自然对数的级数

有一些级数用来计算自然对数。^[1]最简单和低效的是:

$\ln z=\sum_{n=1}^\infty\frac{-{(-1)}^n}{n}(z-1)^n$ 当 $|z-1|<1\!$ 。

下做推导：

由

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ 。

在两边积分得到

$-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots$

$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\cdots$ 。

设 $z=1-x\!$ 并因此 $x=-(z-1)\!$ ，得到

$\ln z=(z-1)-\frac{(z-1)^2}{2}+\frac{(z-1)^3}{3}-\frac{(z-1)^4}{4}+\cdots$

更有效率的级数是

$\ln z=2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}$

对带有正实部的z。

推导：代换-x为x，得到

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$ 。

做减法，得到

$\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)=2x+2\frac{x^3}{3}+2\frac{x^5}{5}+\cdots$ 。

设 $z=\frac{1+x}{1-x} \!$ 并因此 $x = \frac{z-1}{z+1} \!$ ，得到

$\ln z=2\left(\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots\right)$ 。

例如，应用这个级数于

$z=\frac{11}{9},$

得到

$\frac{z-1}{z+1}=\frac{\frac{11}{9}-1}{\frac{11}{9}+1}=\frac{1}{10},$

并因此

$\ln1.\dot{2}=\frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{3\cdot100}+\frac{1}{5\cdot10000}+\frac{1}{7\cdot1000000}+\cdots\right)$

$=0.2\cdot(1.0000000\dots+0.00\dot{3}+0.00002+0.000000\dot{1}4285\dot{7}+\cdots)$

$=0.2\cdot1.00335\cdots=0.200670\cdots$

在这里我们在第一行的总和中提出了因数1/10。

对于任何其他底数β，我们使用

$\log_\beta x=\frac{\ln x}{\ln\beta}$ 。

计算机

多数计算机语言把log(x)用做自然对数，而常用对数典型的指示为log10(x)。参数和返回值典型的是浮点数据类型。

因为参数是浮点数，可以有用的做如下考虑:

浮点数值x被表示为尾数m和指数n所形成的

x = m2ⁿ。

因此

ln(x) = ln(m) + nln(2)。

所以，替代计算ln(x)，我们计算对某个m的ln(m)使得1 ≤ m ≤ 2。有在这个范围内的m意味着值 $u = \frac{m - 1}{m+1}$ 总是在范围 $0 \le u < \frac13$ 内。某些机器使用在范围 $0.5 \le m < 1$ 内的尾数，并且在这个情况下u的值将在范围 $-\frac13 < u \le 0$ 内。在任何一种情况下，这个级数都是更容易计算的。

一般化

普通的正实数的对数一般化为负数和复数参数，尽管它是多值函数，需要终止在分支点0上的分支切割，来制作一个普通函数或主分支。复数z的（底数e）的对数是复数ln(|z|) + i arg(z)，这里的 |z| 是z的模，arg(z)是辐角，而i是虚单位；详情参见复对数。

离散对数是在有限群理论中的相关概念。它涉及到解方程bⁿ = x，这里的b和x是这个群的元素，而n是指定在群运算上的幂。对于某些有限群，据信离散对数是非常难计算的，而离散指数非常容易。这种不对称性可用于公开密钥加密。

矩阵对数是矩阵指数的反函数。

对于不等于1的每个正数b，函数log_b (x)是从在乘法下的正实数的群到在加法下（所有）实数的群的同构。它们是唯一的连续的这种同构。对数函数可以扩展为在乘法下正实数的拓扑空间的哈尔测度。

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