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对数  

2011-09-30 09:30:54|  分类: 数学|物理 |  标签: |举报 |字号 订阅

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底数是10时,写作“lg”,不必写底数;

底数是e时,写作“ln”,不必写底数。

对数

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各种底数的对数: 红色函数底数是e, 绿色函数底数是10,而紫色函数底数是1.7。在数轴上每个刻度是一个单位。所有底数的对数函数都通过点(1,0),因为任何数的0次幂都是1,而底数β的函数通过点(β, 1),因为任何数的1次幂都是自身1。曲线接近y轴但永不触及它,因为x=0的奇异性。

在数学中,数?x(对于底数?β)的对数βy?的指数?y,使得?x=βy。底数?β?的值一定不能是1或0(在扩展到复数复对数情况下不能是1的方根),典型的是e、?10或2。数x(对于底数β)的对数通常写为

y=\log_\beta x\!

xβ进一步限制为正实数的时候,对数是1个唯一的实数。 例如,因为

3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81

我们可以得出

4=\log_381\!

用日常语言说,对81以3为基的对数是4。

目录

[隐藏]

 对数函数

函数logαx依赖于αx二者,但是术语对数函数在标准用法中用来称呼形如logαx的函数,在其中底数α是固定的而只有一个参数x。所以对每个基\alpha=|R|\ne0,1的值(不得是负数、0或1)只有唯一的对数函数。从这个角度看,底数α的对数函数是指数函数y = αx反函数。词语“对数”经常用来称呼对数函数自身和这个函数的1个特定值。

对数函数图像和指数函数图像关于直线y=x对称,互为逆函数

对数函数的性质有:

  1. 都过(1,0)点;
  2. 定义域为|R|≠0,值域为R;
  3. α>1,在(0,+∞)上是增函数;1>α>0时,在(0,+∞)上是减函数。

常用公式

  • 和差

\begin{align} \log_\alpha\ M\!N&=\log_\alpha\ \beta^m\!\beta^n\\ &=\log_\alpha\ \beta^{m+n}\\ &=(m+n)\log_\alpha\!\beta\\ &=m\log_\alpha\!\beta+n\log_\alpha\!\beta\\ &=\log_\alpha\ \beta^m+\log_\alpha\ \beta^n\\ &=\log_\alpha\!M+\log_\alpha\!N\\ \log_\alpha\!\frac{M}{N}&=\log_\alpha\!M+\log_\alpha\!\frac{1}{N}\\ &=\log_\alpha\!M-\log_\alpha\!N \end{align}

  • 基变换

\log_\alpha\!x=\frac{\log_\beta\!x}{\log_\beta\!\alpha}

  • 指系

\begin{align} \log_{\alpha^n}\ {x^m}&=\frac{\ln\ x^m}{\ln\ \alpha^n}\\ &=\frac{m\ln\!x}{n\ln\!\alpha}\\ &=\frac{m}{n}\log_\alpha\!x \end{align}

  • 还原

\begin{align} \alpha^{\log_\alpha\!x}&=x\\  &=\log_\alpha\!\alpha^x \end{align}

  • 互换

M^{\log_\alpha\!N}=N^{\log_\alpha\!M}

  • 倒数

\log_\phi\!\theta=\frac{\ln\!\theta}{\ln\!\phi}=\dfrac{1}{\dfrac{\ln\!\phi}{\ln\!\theta}}=\frac{1}{\log_\theta\!\phi}

  • 链式

\begin{align} \log_\beta\!\alpha\log_\gamma\!\beta&=\frac{\ln\!\alpha}{\ln\!\beta}\ \frac{\ln\!\beta}{\ln\!\gamma}\\ &=\frac{\ln\!\alpha}{\ln\!\gamma}\\ &=\log_\gamma\!\alpha \end{align}

有理和无理指数

如果n有理数βn表示等于βn个因子的乘积:

\underbrace{\beta\times\beta\times\cdots\times\beta}_n

但是,如果β是不等于1的正实数,这个定义可以扩展到在一个中的任何实数n(参见)。类似的,对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数β,有一个对数函数和一个指数函数,它们互为反函数。

对数可以简化乘法运算为加法,除法为减法,幂运算为乘法,根运算为除法。所以,在发明电子计算机之前,对数对进行冗长的数值运算是很有用的,它们广泛的用于天文工程航海测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

底数

最常用做底数的是e\approx2.71828182845904523536\ldots、10和2。当写出不带底数的“log”的时候,意图要从上下文中确定:

为了避免混淆,在可能有歧义的时候最好指定底数。

底数变换

尽管有很多有用的恒等式,对计算器最重要的是找到不是建造于计算器内的底数(通常是loge和log10)的其他底数的对数。要使用其他底数β找到底数α的对数:

\log_\alpha x=\frac{\log_\beta x}{\log_\beta\alpha}

此外,这个结果蕴涵了所有对数函数(任意底数)都是相互类似的。所以用计算器计算对1344217728底数2的对数:

\log_2134217728=\frac{\ln134217728}{\ln2}=\frac{27\ln2}{\ln2}=27

 对数的用途

对数对解幂是未知的方程是有用的。它们有简单的导数,所以它们经常用在解积分中。对数是三个相关的函数中的一个。在等式bn = x中,b可以从xn方根nx 的b底数的对数,xbn次的来确定。参见对数恒等式得到掌控对数函数的一些规则。

简便计算

对数把注意力从平常的数转移到了幂。只要使用相同的底数,就会使特定运算更容易:

数的运算 幂的运算 对数恒等式
\,xy \,m+n \,\log_{\theta}xy=\log_{\theta}x+\log_{\theta}y
\frac{x}{y} \,m-n \log_{\theta}\frac{x}{y}=\log_{\theta}x-\log_{\theta}y
\,x^y \,mn \,\log_{\theta}x^y=y\log_{\theta}x
\sqrt[y]{x} \frac{m}{n} \log_{\theta}\sqrt[y]{x}=\frac{\log_{\theta}x}{y}

这些关系使在两个数上的这种运算更快,在乘法计算器出现之前正确的使用对数是基本技能。

群论

从纯数学的观点来看,恒等式

\log_\alpha\Mu\Nu=\log_\alpha\Mu+\log_\alpha\Nu\!

在两种意义上是基本的。首先,其他3个算术性质可以从它得出。进一步的,它表达了在正实数的乘法群和所有实数的加法群之间的同构

对数函数是从正实数的乘法群到实数的加法群的唯一连续同构。

复对数

复对数计算公式

{}_{{\color{blue}{\rm{Log}}_{c+d{\rm{i}}} (a+b{\rm{i}}) =\frac{\ln\left(a^2+b^2)\cdot\ln(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{a}{b}+2k\pi\right) \left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right) +\left[2\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)\ln\left(c^2+d^2\right)-2\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]{\rm{i}}}{\ln^2\left(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)^2}}}
{}_{{\color{red}\ (a+b{\rm{i}})^{\left(c+d{\rm{i}}\right)}=e^{\frac{c}{2}\ln\left(a^2+b^2\right)-\left(d+2n\pi\right)\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)}\left\{\cos \left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right] +{\rm{i}}\sin\left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]\right\}}}
\begin{cases}  \arctan0={\pi}, & \mbox{for }a  0\!\, \\ \end{cases}
\mathbb{Z}=\{k,n\}

微积分

自然对数函数的导数

\frac{\rm{d}} {{\rm{d}}x} \ln x = \frac{1}{x}

通过应用换底规则,其他底数的导数是

\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \log_b x = \frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \frac {\ln x}{\ln b} = \frac{1}{x \ln b} = \frac{\log_b e}{x}

自然对数\ln x\,不定积分

\int \ln x \,{\rm{d}}x = x \ln x - x + C,

而其他底数对数的不定积分

\int \log_b x \,{\rm{d}}x = x \log_b x - \frac{x}{\ln b} + C = x \log_b \frac{x}{e} + C

计算自然对数的级数

有一些级数用来计算自然对数。[1]最简单和低效的是:

\ln z=\sum_{n=1}^\infty\frac{-{(-1)}^n}{n}(z-1)^n|z-1|<1\!

下做推导:

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots

在两边积分得到

-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots
\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\cdots

z=1-x\!并因此x=-(z-1)\!,得到

\ln z=(z-1)-\frac{(z-1)^2}{2}+\frac{(z-1)^3}{3}-\frac{(z-1)^4}{4}+\cdots

更有效率的级数是

\ln z=2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}

对带有正实部的z

推导:代换-xx,得到

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots

做减法,得到

\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)=2x+2\frac{x^3}{3}+2\frac{x^5}{5}+\cdots

z=\frac{1+x}{1-x} \!并因此x = \frac{z-1}{z+1} \!,得到

\ln z=2\left(\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots\right)

例如,应用这个级数于

z=\frac{11}{9},

得到

\frac{z-1}{z+1}=\frac{\frac{11}{9}-1}{\frac{11}{9}+1}=\frac{1}{10},

并因此

\ln1.\dot{2}=\frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{3\cdot100}+\frac{1}{5\cdot10000}+\frac{1}{7\cdot1000000}+\cdots\right)
=0.2\cdot(1.0000000\dots+0.00\dot{3}+0.00002+0.000000\dot{1}4285\dot{7}+\cdots)
=0.2\cdot1.00335\cdots=0.200670\cdots

在这里我们在第一行的总和中提出了因数1/10。

对于任何其他底数β,我们使用

\log_\beta x=\frac{\ln x}{\ln\beta}

计算机

多数计算机语言把log(x)用做自然对数,而常用对数典型的指示为log10(x)。参数和返回值典型的是浮点数据类型。

因为参数是浮点数,可以有用的做如下考虑:

浮点数值x被表示为尾数m和指数n所形成的

x = m2n

因此

ln(x) = ln(m) + nln(2)

所以,替代计算ln(x),我们计算对某个mln(m)使得1 ≤ m ≤ 2。有在这个范围内的m意味着值u = \frac{m - 1}{m+1}总是在范围0 \le u < \frac13内。某些机器使用在范围0.5 \le m < 1内的尾数,并且在这个情况下u的值将在范围-\frac13 < u \le 0内。在任何一种情况下,这个级数都是更容易计算的。

一般化

普通的正实数的对数一般化为负数和复数参数,尽管它是多值函数,需要终止在分支点0上的分支切割,来制作一个普通函数或主分支。复数z的(底数e)的对数是复数ln(|z|) + i arg(z),这里的 |z| 是z,arg(z)是辐角,而i虚单位;详情参见复对数

离散对数是在有限群理论中的相关概念。它涉及到解方程bn = x,这里的bx是这个群的元素,而n是指定在群运算上的幂。对于某些有限群,据信离散对数是非常难计算的,而离散指数非常容易。这种不对称性可用于公开密钥加密

矩阵对数矩阵指数的反函数。

对于不等于1的每个正数b,函数logb (x)是从在乘法下的正实数的到在加法下(所有)实数的群的同构。它们是唯一的连续的这种同构。对数函数可以扩展为在乘法下正实数的拓扑空间哈尔测度

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