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图像处理之傅里叶变换的理解  

2012-08-02 15:23:22|  分类: ____图形图像 |  标签: |举报 |字号 订阅

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我现在不得不学习图像处理,正所谓活到老学到老,虽然我没有图像处理的基础,甚至是零基础(很多概念都不懂),我还是要学,为什么?因为这是我的课题,没办法,哈哈。

 

图像处理的数学基础,最为重要的莫过于傅里叶变换,我现在已经看了有段时间。整理整理,有错误不对的地方,希望有人指正啊,多多学习。

当法国佬傅里叶提出任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式,每个正弦和/或余弦乘以不同的系数(傅里叶级数)。现在甚至是非周期函数也可以啊。这很重要啊,理论基础啊。

用傅里叶级数或变换表示的函数特征可以完全通过傅里叶反过程来重建,不丢失任何信息。太重要了!没有它,变换多少失色点。

 

其实傅里叶变换就是个正交矩阵的正交变换(图像是一个二维的数据矩阵),这里可以从矩阵理论中找到一点线索。

f表示图像,如果P和Q都是对称的实正交矩阵,那么

F=PfQ

f=PFQ

多好的东东啊。

为傅里叶变换找到根了,也为图像从空间域到频域,频域到空间域找到依据了。而欧拉公式让它实现了。

exp(jo)=coso+jsino  (o 表示角度)

 

傅里叶变换的一个重要性质就是周期性。图像值f(m,n)可以看成事一系列周期曲线exp{2pii[(mu/M)+(nv/N)]}的线性组合,该模式的实部室正弦函数,虚部为余弦函数。而变换后的F(u,v)可以看成是加权函数。实函数的傅里叶变换是一个复函数。

 

图像是两个参数的函数,通过一组正交函数的线性组合可以将其分解,而傅里叶就是通过谐波函数来分解的。而对于离散傅里叶变换,傅里叶变换的条件是存在的。

傅里叶变换进行图像处理有几个特点

1. 直流成分F(0,0)等于图像的平均值;

2. 能量频谱|F(u,v)|^2完全对称于原点;

3.图像f平移(a,b)后,F只有exp[-2pij(au/M+bv/M)]的相位变化,能量频谱不发生变化。

4. 图像f自乘平均等于能量频谱的总和,f的分散等于能量频谱中除直流成分后的总和。

5.图像f(x,y)和g(x,y)的卷积h(x,y)=f(x,y)*g(x,y)的傅里叶变换H(u,v)等于f(x,y)和g(x,y)各自的傅里叶变换的乘积。

 

图像中的每个点通过傅里叶变换都成了谐波函数的组合,也就有了频率,这个频率则是在这一点上所有产生这个灰度的频率之和,也就是说傅里叶变换可以将这些频率分开来。当想除去图像背景时,只要去掉背景的频率就可以了。

 

在进行傅里叶变换时,实际上在某一特定的频率下,计算每个图像位置上的乘积。什么乘积呢,就是f(x,y)exp[-j2pi(ux+vy)],然后计算下一个频率。这样就得到了频率函数。

也就是说,我们看到傅里叶变换的每一项(对每对频率u,v,F(u,v)的值)是由f(x)函数所有值的和组成。f(x)的值与各种频率的正弦值和余弦值相乘。因此,频率u, v决定了变换的频率成分(x, y也作用于频率,但是它们相加,对频率有相同的贡献)。

 

通常在进行傅里叶变换之前用(-1)^(x+y)乘以输入的图像函数,这样就可以将傅里叶变换的原点F(0,0)移到(M/2,N/2)上。

 

每个F(u,v)项包含了被指数修正的f(x,y)的所有值,因而一般不可能建立图像特定分量和其变换之间的联系。然而,一般文献通常会有关于傅里叶变换的频率分量和图像空间特征之间联系的阐述。变换最慢的频率成分(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度级。当从变换的原点移开时,低频对应着图像的慢变换分量,较高的频率开始对应图像中变化越来越快的灰度级。这些事物体的边缘和由灰度级的突发改变(如噪声)标志的图像成分。

 

在频率域中的滤波基础

1. (-1)^(x+y)乘以输入图像来进行中心变换

2. 由(1)计算图像的DFT, 即F(u,v)

3. 用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v)

4. 计算(3)中的结果的反DFT

5. 得到(4)中的结果的实部

6. 用(-1)^(x+y)乘以(5)中的结果

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